REGRAS DE DERIVAÇÃO

DERIVADAS


Regras de derivação

As regras de derivação existem para facilitar os cálculos para descobrir a inclinação da reta tangente, buscando maior agilidade e facilidade para os cálculos de derivadas, é possível provar os resultados subsequentes, usualmente conhecidos como propriedades das derivadas, ou regras de derivação.

                Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:

                1) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0.

                2) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a.

                3) (Regra do tombo)Se f (x) = x^a, então f ' (x) = a·x^{a – 1.}

                4) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x).

                 5) (Regra do produto) [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).

                6) (regra do quociente): 


                Exemplos:

                Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) = x³

                Pela regra do tombo:

                   f ' (x) = 3x^{3 – 1} = 3x<sup>2

                    Exemplo:</sup> y = x ² - 3x   ^Resolvido

                Exemplo 2: Calcule a derivada de f (x) =  3x⁴

                Pela regra do tombo:

                f ' (x) = 4·3x^{4 – 1}
                     f ' (x) = 12x³

                Exemplo 3: Calcule a derivada de f (x) = √x

                Pela regra do tombo:

                f (x) = x^1/2

              f ' (x) = 1x^{1/2 – 1}

                             2 

                f ' (x) = 1x^–1/2

                             2

               f ' (x) = 1 

                            2x^1/2

                    f ' (x) = 1 

                                 2√x

                Exemplo 4: Calcule a derivada de f (x) =x²·(3x – 1)

                Pode-se resolver esse problema pela simplificação do polinômio ou por meio da regra do produto:

                f ' (x) = 2x(3x – 1) + x²(3 – 0)
               f ' (x) = 6x² – 2x + 3x²
                  f ' (x) = 9x² – 2x

                 Exemplo:y = (3 + x) (2 - x) Resolvido
               

REVISAR

                               

CONCEITO DE DERIVADA

Conceito

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, ou seja dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x.

Regras de derivação.

Para facilitar a compreensão do conteúdo existem algumas regras aplicadas as expressões que facilitam a derivação das mesmas. O link abaixo fornece informações de forma clara  e explicativa sobre as regras:

 https://calculemais.com.br/aulas-de-matematica/14/derivada

Exemplos de derivação

Derivação utilizando as regras quando necessário:
a)    y=100x

y’=100.

Quando a constante é acompanhada do x, resolve-se da seguinte forma:

y’=100x¹

y’=1.100.x^1-1

y’=100.x⁰

y’=100.1

y’=100

b)y=100

y’=0

A derivação de uma constante sozinha é sempre zero.

c)y=(3x+2).(4x-1)

y’=3.(4x-1)+4.(3x+2)

y’=12x-3+12x+8

y’=24x+5

Quando se tem um multiplicação utiliza-se da regra y’=f’.g+g’.f, ou seja você faz a derivação da primeira expressão(3x+2 – que resulta em y’=3, em vista de a derivada de uma constante ser 0 e de número acompanhado por x ser ele mesmo) e multiplica pela segunda do jeito que esta, soma com a derivação da segunda expressão multiplicando a primeira expressão.

PLANO DE AULA

UM PANO DE AULA É O RESPONSÁVEL PELO ALCANCE DO OBJETIVO DO PROFISSIONAL DA EDUCAÇÃO, ELE É  NECESSÁRIO POIS SE TRATA DA DESCRIÇÃO DETALHADA DO QUE O PROFESSOR IRÁ TRABALHAR DENTRO DA SALA DE AULA DURANTE UM PERIODO DE TEMPO, COM VISTA A APRIMORAR O PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM.

SEGUE UM MODELO DE PLANO  PARA UMA AULA SOBRE CONJUNTO NÚMERICOS E OPERAÇÕES.

PLANO DE AULA

Tema:

§  Conjuntos numéricos e operações.

Conteúdo:

• Conjuntos numéricos.
• Noção e notação de conjuntos.
• Subconjunto. Conjunto das partes de um conjunto.
• Relação de pertinência.
• Operações: união, intersecção, diferença.

Objetivo:

Criar condições didático-pedagógicas para que os alunos possam:

·         Identificar e operar com conjuntos nas suas diferentes formas de representação.

·         Identificar os diferentes conjuntos numéricos, bem como suas operações.

Metodologia:

Aula expositiva, utilização de livros paradidáticos, jogos matemáticos. Será aplicado o jogo “Stop” que tem como objetivo fazer os alunos retomarem o conceito de conjuntos e entenderem suas operações.

            Começaremos com uma brincadeira dinâmica do “Stop” no qual o aluno irá preencher uma tabela esquematizada a seguir:

nome	cidade/estado/país	Objeto	Cor	Fruta

Figura 1 – Tabela do jogo Stop.

            Sendo jogado apenas duas vezes com duas letras distintas devido ao tempo de aula.

            Com o seguinte exemplo: conjunto de objetos que começam com a letra f{Fábio, Florianópolis, faca, fúcsia, figo}. Será explicado o seguinte:

·                     Conjuntos - coleção de objetos bem definidos, denominados elementos ou membros do conjunto.

·                     Elemento - seriam eles: fogão, faca e (flor, ferramentas).

·                     Subconjuntos - no exemplo (faca) é o subconjunto do conjunto de objetos que começam com a letra f 

·                      Pertinência - a faca pertence (∈) ao conjunto dos objetos e não pertence(Ɇ) ao conjunto das frutas.

·                     Contido e não contido – o conjunto cor está contido no conjunto objetos com a letra f.

·                     Conjunto vazio - Será questionado aos alunos se eles sabem o que é o conjunto vazio. Sendo demonstrada a notação de conjunto vazio como sendo {} e Ø. Não sendo correto escrever {Ø}, pois nesse caso o vazio é um elemento do conjunto.

·                     Diagrama de Venn-Euler - sistema de organização de conjuntos numéricos, onde os elementos são agrupados em figuras geométricas, facilitando a visualização da divisão feita entre os diferentes grupos., será mostrado na lousa o seguinte exemplo abaixo:

Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de:

a) 380

b) 360

c) 340

d) 270

e) 230

Resolução

A questão pode ser facilmente resolvida através do Diagrama de Venn.

Veja na figura que:

·         A região azul corresponde a quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site A (100 – 20).

·         A região amarela corresponde a quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site B (150 – 20).

·         A região verde corresponde a quantidade de pessoas que se informavam pelos dois sites A e B (20).

·         A região branca corresponde a quantidade de pessoas que não se informavam por nenhum dois dois sites.(110)

O total de pessoas consultadas será:

80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas

Resposta: C

Recursos Didáticos:

• Projetor multimídia;
• Quadro de giz;
• Giz;

Avaliação:

A avaliação será feita levando em conta diversos aspectos inerentes ao processo de ensino-aprendizagem. A avaliação ocorrerá baseado, na produtividade, no conceitual e nas atitudes:

 1. Produtividade

  - Atividades de sala solicitadas com ou sem aviso prévio.

 2. Verificação conceituada

 - Prova escrita.

3.Participação/Atitudes

- Contribuir para o bom desenvolvimento das aulas, não conversando desnecessariamente;

- Não constranger os colegas nas discussões;

- A capacidade de expressão de suas opiniões, de respeito com as opiniões dos colegas e do professor, de trabalhar em grupo e de permitir o bom convívio durante a realização das atividades pedagógicas.

Referências:

BRASIL. Congresso. Senado. Resolução CNE/CP 1, de 18 de fevereiro de 2002. Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena.  Coleção de Leis da República Federativa do Brasil, Brasília, DF, 2002.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília: MEC/SEB, 2013.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 2000.

LIBÂNEO, J. C. O planejamento escolar. In: LIBÂNEO, J. C. Didática. São Paulo: Cortez, 2013.

MENEGOLLA, M.; SANT`ANNA, I. M. Por que planejar? Como planejar? 16. ed. Petrópolis: Vozes, 2008.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008.

FUNÇÃO POLINOMIAL

 

É uma função dada por um polinômio, ou seja, para todo x pertencente ao domínio da função, encontramos o valor de y na imagem da função calculando o valor de  um polinômio no valor de x do domínio.

O grau de um polinômio é o maior expoente da variável x. Exemplo em 2x²-3x+6, o grau de polinômio é 2, em 3x³ +5x²-5 , o grau de polinômio é 3. E onde 2x+6, o grau é  0 (polinômio nulo) não definimos grau.

Quando multiplicamos dois polinômios f(x) e g(x), o resultado é um polinômio que tem grau igual à soma do grau de ambos.

Exemplo: 

2x²  * 5x = 10x³ 

A soma de dois polinômios f(x) e g(x) tem grau menor ou igual ao maior do grau de ambos.

Exemplo: 2x²+5x-x²+8+7x-6

              2x²-x²+5x+7x+8-6 (separa os elementos semelhantes)

             x²+12x +2

A divisão de dois polinômios f(x) e g(x) em geral não é um polinômio. No caso de ser polinômio, dizemos que g(x) divide f(x).

Exemplo:

Quando dizemos que um polinômio p(x) pertence a Z[x],R[x] ou C[x] significa que seus coeficientes são números inteiros, reais ou complexos respectivamente.

Os exemplos mais importantes de funcões polinomiais são:

A função constante , que é uma função polinomial de grau 0,

f(x)=k, k constante, e  que assume o mesmo valor k para todo x no domínio de f.

A função afim, f(x)=ax+b, a≠0, é uma função polinomial de grau 1 com b≠0.

No caso de b=0 então f(x)=ax ,e a função é dita linear, exemplo importantíssimo pois nesse caso, vale:

f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y) → f(x+y)=f(x)+f(y), aditividade. e

f(kx)=a(kx)=k(ax)=k.f(x) → f(kx)=k.f(x) xDom f, homogeneidade.

Se a>0, então a função afim é crescente e se a<0 ela é decrescente.Vamos dar um exemplo:

Seja  f(x)=2x-4 , função afim crescente. Para fazer seu gráfico basta obter dois pontos. Podemos escolher os pontos, vamos tomar x=0 e x=2. Então f(0)=-4 e f(2)=0,assim o gráfico  de f representa uma reta que passa pelos pontos (0; -4) e (2; 0) no plano cartesiano, como abaixo:

Outro exemplo de grande utilidade e importância de função polinomial é  a função quadrática f(x)=ax²+bx+c, a≠0, que tem grau 2, cujo gráfico é uma parábola.

f(x)=ax²+b²x+c

EXERCÍCIO PARA FIXAÇÃO

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

É toda função definida pela lei de formação f(x) = log_ax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições: 

Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1. 
Função crescente
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:

 

Função decrescente 

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:

FUNÇÃO MODULAR

De maneira mais formal, podemos definir função modular como:

f(x) = |x| ou y = |x|

A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:

f(x) = x, se x≥ 0

ou

f(x) = – x, se x < 0

Essas características decorrem da definição de módulo.

Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|

Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x

O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:

A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.

Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x² – 3x|

Solução: pela definição de módulo, temos que:

f(x) = x² – 3x, se x≥ 0

e

f(x) = – (x² – 3x), se x<0

Daí, segue que:

x² – 3x = 0

x = 0 ou x = 3, logo :

Temos também que:

– (x² – 3x) = 0

x = 0 ou x = 3

Daí, segue que:

Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x² – 3x|

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Ao falamos em funções exponenciais,  estamos tratando das funções que crescem ou decrescem muito rapidamente,

As funções exponenciais são todas as funções

, definidas por  

Podemos observar nesse tipo de função que f(x) = a^x, sendo que a variável independente de x está no expoente. A sempre será um número real, sendo a > 0 e a ≠ 1. Pois se a fosse igual a 1, qualquer  numero x real sempre resultaria em 1.  Por exemplo, f(x) =1^x, que seria o mesmo que f(x) = 1, ou seja, uma a função constante, e não exponencial.

 Assim o como a deve ser maior que 0? Na potenciação, aprendemos que 0⁰ é indeterminado e, portanto, f(x) = 0^x seria um valor indeterminado quando x=0.

Não existem raízes reais de um radicando negativo e índice par.portanto, em caso de a<0, como em a=-3, por exemplo, e x=1/4, o valor de f(x) nunca será um número real. Confira:

E, com esse resultado, concluímos que o valor não pertence aos números reais, uma vez que 

Função exponencial crescente ou decrescente

As funções exponenciais, assim como as funções normais, podem ser classificadas como crescentes ou decrescentes, dependendo de a base a ser maior ou menor que 1.

Função exponencial crescente: é quando a > 1, independente do valor de x. Confira no gráfico abaixo que à medida que o valor de x aumenta, f(x) ou y também aumentam.

Função exponencial decrescente: é quando 0 < a < 1, de forma que teremos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função. No gráfico abaixo, confira que, em contraposição ao gráfico anterior, à medida que o valor de x aumenta, o y diminui.