REGRAS DE DERIVAÇÃO

DERIVADAS


Regras de derivação

As regras de derivação existem para facilitar os cálculos para descobrir a inclinação da reta tangente, buscando maior agilidade e facilidade para os cálculos de derivadas, é possível provar os resultados subsequentes, usualmente conhecidos como propriedades das derivadas, ou regras de derivação.

                Sejam f (x) e g (x) funções deriváveis e seja a um número real qualquer. Então, valem as propriedades:

                1) Se f (x) = a, então f ' (x) = 0.

                2) Se f (x) = ax, então f ' (x) = a.

                3) (Regra do tombo)Se f (x) = x^a, então f ' (x) = a·x^{a – 1.}

                4) (Derivada da soma) [f (x) + g (x)]' = f ' (x) + g' (x).

                 5) (Regra do produto) [f (x) g (x)]' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).

                6) (regra do quociente): 


                Exemplos:

                Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) = x³

                Pela regra do tombo:

                   f ' (x) = 3x^{3 – 1} = 3x<sup>2

                    Exemplo:</sup> y = x ² - 3x   ^Resolvido

                Exemplo 2: Calcule a derivada de f (x) =  3x⁴

                Pela regra do tombo:

                f ' (x) = 4·3x^{4 – 1}
                     f ' (x) = 12x³

                Exemplo 3: Calcule a derivada de f (x) = √x

                Pela regra do tombo:

                f (x) = x^1/2

              f ' (x) = 1x^{1/2 – 1}

                             2 

                f ' (x) = 1x^–1/2

                             2

               f ' (x) = 1 

                            2x^1/2

                    f ' (x) = 1 

                                 2√x

                Exemplo 4: Calcule a derivada de f (x) =x²·(3x – 1)

                Pode-se resolver esse problema pela simplificação do polinômio ou por meio da regra do produto:

                f ' (x) = 2x(3x – 1) + x²(3 – 0)
               f ' (x) = 6x² – 2x + 3x²
                  f ' (x) = 9x² – 2x

                 Exemplo:y = (3 + x) (2 - x) Resolvido
               

REVISAR

                               

CONCEITO DE DERIVADA

Conceito

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, ou seja dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x.

Regras de derivação.

Para facilitar a compreensão do conteúdo existem algumas regras aplicadas as expressões que facilitam a derivação das mesmas. O link abaixo fornece informações de forma clara  e explicativa sobre as regras:

 https://calculemais.com.br/aulas-de-matematica/14/derivada

Exemplos de derivação

Derivação utilizando as regras quando necessário:
a)    y=100x

y’=100.

Quando a constante é acompanhada do x, resolve-se da seguinte forma:

y’=100x¹

y’=1.100.x^1-1

y’=100.x⁰

y’=100.1

y’=100

b)y=100

y’=0

A derivação de uma constante sozinha é sempre zero.

c)y=(3x+2).(4x-1)

y’=3.(4x-1)+4.(3x+2)

y’=12x-3+12x+8

y’=24x+5

Quando se tem um multiplicação utiliza-se da regra y’=f’.g+g’.f, ou seja você faz a derivação da primeira expressão(3x+2 – que resulta em y’=3, em vista de a derivada de uma constante ser 0 e de número acompanhado por x ser ele mesmo) e multiplica pela segunda do jeito que esta, soma com a derivação da segunda expressão multiplicando a primeira expressão.

PLANO DE AULA

UM PANO DE AULA É O RESPONSÁVEL PELO ALCANCE DO OBJETIVO DO PROFISSIONAL DA EDUCAÇÃO, ELE É  NECESSÁRIO POIS SE TRATA DA DESCRIÇÃO DETALHADA DO QUE O PROFESSOR IRÁ TRABALHAR DENTRO DA SALA DE AULA DURANTE UM PERIODO DE TEMPO, COM VISTA A APRIMORAR O PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM.

SEGUE UM MODELO DE PLANO  PARA UMA AULA SOBRE CONJUNTO NÚMERICOS E OPERAÇÕES.

PLANO DE AULA

Tema:

§  Conjuntos numéricos e operações.

Conteúdo:

• Conjuntos numéricos.
• Noção e notação de conjuntos.
• Subconjunto. Conjunto das partes de um conjunto.
• Relação de pertinência.
• Operações: união, intersecção, diferença.

Objetivo:

Criar condições didático-pedagógicas para que os alunos possam:

·         Identificar e operar com conjuntos nas suas diferentes formas de representação.

·         Identificar os diferentes conjuntos numéricos, bem como suas operações.

Metodologia:

Aula expositiva, utilização de livros paradidáticos, jogos matemáticos. Será aplicado o jogo “Stop” que tem como objetivo fazer os alunos retomarem o conceito de conjuntos e entenderem suas operações.

            Começaremos com uma brincadeira dinâmica do “Stop” no qual o aluno irá preencher uma tabela esquematizada a seguir:

nome	cidade/estado/país	Objeto	Cor	Fruta

Figura 1 – Tabela do jogo Stop.

            Sendo jogado apenas duas vezes com duas letras distintas devido ao tempo de aula.

            Com o seguinte exemplo: conjunto de objetos que começam com a letra f{Fábio, Florianópolis, faca, fúcsia, figo}. Será explicado o seguinte:

·                     Conjuntos - coleção de objetos bem definidos, denominados elementos ou membros do conjunto.

·                     Elemento - seriam eles: fogão, faca e (flor, ferramentas).

·                     Subconjuntos - no exemplo (faca) é o subconjunto do conjunto de objetos que começam com a letra f 

·                      Pertinência - a faca pertence (∈) ao conjunto dos objetos e não pertence(Ɇ) ao conjunto das frutas.

·                     Contido e não contido – o conjunto cor está contido no conjunto objetos com a letra f.

·                     Conjunto vazio - Será questionado aos alunos se eles sabem o que é o conjunto vazio. Sendo demonstrada a notação de conjunto vazio como sendo {} e Ø. Não sendo correto escrever {Ø}, pois nesse caso o vazio é um elemento do conjunto.

·                     Diagrama de Venn-Euler - sistema de organização de conjuntos numéricos, onde os elementos são agrupados em figuras geométricas, facilitando a visualização da divisão feita entre os diferentes grupos., será mostrado na lousa o seguinte exemplo abaixo:

Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de:

a) 380

b) 360

c) 340

d) 270

e) 230

Resolução

A questão pode ser facilmente resolvida através do Diagrama de Venn.

Veja na figura que:

·         A região azul corresponde a quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site A (100 – 20).

·         A região amarela corresponde a quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site B (150 – 20).

·         A região verde corresponde a quantidade de pessoas que se informavam pelos dois sites A e B (20).

·         A região branca corresponde a quantidade de pessoas que não se informavam por nenhum dois dois sites.(110)

O total de pessoas consultadas será:

80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas

Resposta: C

Recursos Didáticos:

• Projetor multimídia;
• Quadro de giz;
• Giz;

Avaliação:

A avaliação será feita levando em conta diversos aspectos inerentes ao processo de ensino-aprendizagem. A avaliação ocorrerá baseado, na produtividade, no conceitual e nas atitudes:

 1. Produtividade

  - Atividades de sala solicitadas com ou sem aviso prévio.

 2. Verificação conceituada

 - Prova escrita.

3.Participação/Atitudes

- Contribuir para o bom desenvolvimento das aulas, não conversando desnecessariamente;

- Não constranger os colegas nas discussões;

- A capacidade de expressão de suas opiniões, de respeito com as opiniões dos colegas e do professor, de trabalhar em grupo e de permitir o bom convívio durante a realização das atividades pedagógicas.

Referências:

BRASIL. Congresso. Senado. Resolução CNE/CP 1, de 18 de fevereiro de 2002. Institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena.  Coleção de Leis da República Federativa do Brasil, Brasília, DF, 2002.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica. Brasília: MEC/SEB, 2013.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio. Brasília: MEC/SEMTEC, 2000.

LIBÂNEO, J. C. O planejamento escolar. In: LIBÂNEO, J. C. Didática. São Paulo: Cortez, 2013.

MENEGOLLA, M.; SANT`ANNA, I. M. Por que planejar? Como planejar? 16. ed. Petrópolis: Vozes, 2008.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008.