FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

É toda função definida pela lei de formação f(x) = log_ax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições: 

Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1. 
Função crescente
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:

 

Função decrescente 

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:

FUNÇÃO MODULAR

De maneira mais formal, podemos definir função modular como:

f(x) = |x| ou y = |x|

A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:

f(x) = x, se x≥ 0

ou

f(x) = – x, se x < 0

Essas características decorrem da definição de módulo.

Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|

Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x

O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:

A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.

Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x² – 3x|

Solução: pela definição de módulo, temos que:

f(x) = x² – 3x, se x≥ 0

e

f(x) = – (x² – 3x), se x<0

Daí, segue que:

x² – 3x = 0

x = 0 ou x = 3, logo :

Temos também que:

– (x² – 3x) = 0

x = 0 ou x = 3

Daí, segue que:

Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x² – 3x|

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Ao falamos em funções exponenciais,  estamos tratando das funções que crescem ou decrescem muito rapidamente,

As funções exponenciais são todas as funções

, definidas por  

Podemos observar nesse tipo de função que f(x) = a^x, sendo que a variável independente de x está no expoente. A sempre será um número real, sendo a > 0 e a ≠ 1. Pois se a fosse igual a 1, qualquer  numero x real sempre resultaria em 1.  Por exemplo, f(x) =1^x, que seria o mesmo que f(x) = 1, ou seja, uma a função constante, e não exponencial.

 Assim o como a deve ser maior que 0? Na potenciação, aprendemos que 0⁰ é indeterminado e, portanto, f(x) = 0^x seria um valor indeterminado quando x=0.

Não existem raízes reais de um radicando negativo e índice par.portanto, em caso de a<0, como em a=-3, por exemplo, e x=1/4, o valor de f(x) nunca será um número real. Confira:

E, com esse resultado, concluímos que o valor não pertence aos números reais, uma vez que 

Função exponencial crescente ou decrescente

As funções exponenciais, assim como as funções normais, podem ser classificadas como crescentes ou decrescentes, dependendo de a base a ser maior ou menor que 1.

Função exponencial crescente: é quando a > 1, independente do valor de x. Confira no gráfico abaixo que à medida que o valor de x aumenta, f(x) ou y também aumentam.

Função exponencial decrescente: é quando 0 < a < 1, de forma que teremos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função. No gráfico abaixo, confira que, em contraposição ao gráfico anterior, à medida que o valor de x aumenta, o y diminui.

FUNÇÕES MATEMÁTICAS.

O estudo das funções serve para estabelecer uma relação entre dois conjuntos, dessa forma podemos defini-la como para cada valor correspondente a x temos um f(x). Denominamos assim x domínio e f(x)ou y de imagem da função.

Assim sendo a função pode ter as seguintes classificações:

• Função injetora:Cada elemento do domínio(x) se associa a apenas um elemento de imagem f(x), porém podem existir elementos de contradomínio que não são imagem.

Exemplo:

D={-1,5;2,8}

I={A;C;D}

CD={A;B;C;D}

• Função sobrejetora:Os elementos de domínio possuem um elemento na imagem, e pode acontecer de um domínio possuir duas imagens, nessa situação imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.

D={-10;2;8;25}

I={A;B;C}

CD={A;B;C}

• Função bijetora:cada elemento de domínio, relaciona-se a um único elemento de f(x), porem não acontece de dois números distintos ter a mesma imagem, porém contradomínio e imagem tem a mesma quantidade de elementos.

D={-12;0;1/2; 5}

I={A;B:C;D}

CD={A;B;C;D}

                                                   

CONCEITO DE FUNÇÃO E FUNÇÃO LINEAR

É  a correspondência entre dois ou mais conjuntos. Para ser considerada função todos elementos de um conjunto (domínio), deve ser ter correspondente no conjunto (Contradomínio), ou seja, nenhum elemento do conjunto (domínio) pode ficar sem correspondente.

Função Linear

Definida pela equação de  1º grau (ax+b). Sua representação através do gráfico é uma reta.

Essa função pode ser crescente quando o valor de a >0 ou descrente quando a<0;

Traçando o gráfico de uma função do 1º grau crescente. (a > 0) 



Traçando o gráfico de uma função do 1º grau decrescente. (a < 0) 

f(x) = -2x + 3 

                     "QUESTÕES PARA FIXAÇÃO"

FUNÇAO QUADRÁTICA (POLIMONIAL DE 2º GRAU)

É definida pela forma f(x) = ax² + bx +c, onde a, b e c são números reais e a 0.O gráfico dessa função  é uma curva chamada parábola. 

• Se a > 0, a concavidade será voltada para cima.
• Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.

FUNÇÃO TRIGNOMÉTRICA

Trigonometria palavra resultante da junção de três palavras gregas e que significa “medida dos triângulos” vai além dos estudos dos triângulos e pode ser aplicada a outros campos do conhecimento além da Matemática, como a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, dentre outros.

O ciclo trigonométrico

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada através do ciclo trigonométrico, que é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas.

Nos círculos existem arcos que realizam mais de uma volta e estes arcos são representados no plano cartesiano através das funções trigonométricas, como a função seno, função cosseno e função tangente.

Função seno

A função seno associa a cada número real x o seu seno, por isso, tem-se que f(x) = senx.

Como o seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco, temos que o sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes.

O gráfico da função seno é representado pelo intervalo denominado senóide e, para construi-lo, deve-se escrever os pontos nos quais a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Domínio de f(x) = sem x; D(sem x) = R; Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [-1,1]

Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1

f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)

f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.

Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.

Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.

Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]Em resumo seno corresponde ao eixo x, no plano cartesiano. 

Função cosseno

A função cosseno associa a cada número real x o seu cosseno, por isso, tem-se que f(x) = cosx.

Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco, temos que o sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes.

O gráfico da função cosseno é representado pelo intervalo chamado de cossenóide e, para construi-lo, deve-se escrever os pontos nos quais a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R; Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [-1,1].

Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrantes (abscissa positiva)

f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrantes (abscissa negativa)

Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.

Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.

Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.

Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.Em resumo o cosseno corresponde ao eixo y.

Função tangente

A função tangente associa a cada número real x a sua tangente, por isso, tem-se que f(x) = tgx.

Como a tangente x é a ordenada do ponto T intersecção da reta que passa pelo centro de uma circunferência e o ponto-extremidade do arco com o eixo das tangentes, temos que o sinal da função f(x) = tgx é positivo no 1º e 3º quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes.

O gráfico da função tangente é denominado tangentóide.

Domínio de f(x) = todos os números reais, com exceção dos que zeram o cosseno, pois não existe cosx = 0; Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.